柯西不等式，柯西不等式详细内容

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1，柯西不等式详细内容
2，柯西不等式具体是什么
3，谁能给我详细讲解下柯西不等式
4，什么叫柯西不等式
5，柯西不等式是什么
6，什么是柯希不等式

1，柯西不等式详细内容

http://baike.baidu.com/view/7618.htm

柯西不等式详细内容

2，柯西不等式具体是什么

柯西不等式的简介　是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步　柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。柯西不等式的证法柯西不等式的一般证法有以下几种： Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。

柯西不等式具体是什么

3，谁能给我详细讲解下柯西不等式

柯西不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 取等条件为a1/b1=a2/b2=...=an/bn或a1=a2=...=an=0或b1=b2=...=bn=0 证: f(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2+2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+b2^2+...+bn^2) (1)a1^2+a2^2+...+an^2=0,柯西不等式显然成立 (2)a1^2+a2^2+...+an^2≠0,且f(x)=(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+...+(anx+bn)^2≥0 故二次函数y=f(x)的判别式△=4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≤0 即(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 综上,柯西不等式成立.

柯西不等式的另一种变形a12/b1+a22/b2+……an2/bn≥(a1+a2+……an)2/(b1+b2+………bn)

谁能给我详细讲解下柯西不等式

4，什么叫柯西不等式

5，柯西不等式是什么

所谓柯西不等式，是对2n个实数a1,a2,……,an和b1,b2,……，bn间满足的一个不等式关系：具休公式我用图片形式给出如下。

　　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。　　■巧拆常数：　　例：设a、b、c 为正数且各不相等。　　求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c) 　　分析：∵a 、b 、c 均为正数　　∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 　　又 9=(1+1+1)(1+1+1) 　　证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 　　又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立　　∴原不等式成立。　　像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．

a^2+b^2>=2ab的扩展（实质）

你可以到百度里搜索柯西不等式，就有很多关于这类资料，你可以参考一下，百度百科里的解释： http://baike.baidu.com/view/7618.htm 而简言之，就是：柯西不等式是以构造一个以其为系数的二次方程，因为其无解或至多一个解（也就是判别式小于等于零）来证明

为需要对连续函数很熟悉。一、先证明f>0 首先说明f没有零点，否则有f(y)=f(x)*f(y-x)=0，从而f是常数函数。于是由连续函数性质，f恒正或恒负。由条件得，f(x)>0，进而可得f(0)=1；二、可以保证构造良定的连续函数G(x)=ln(f(x))，有性质：G(x+y)=G(x)+G(y)。只需证明G(x)是个线性函数，即G(x)=lna * x，为此又等价于G(kx)=kG(x)，k是任意实数。下面又要用到连续的性质了，不过基本的方法还是初等的，似乎也被叫做什么归纳法（名字我忘了），就是初等证明H?lder不等式之类一模一样的思路，具体不细写了。 1，显然对任意正整数k成立，由f(0)=1可得对k为任意整数成立； 2，对任意有理数k成立； 3，利用实数性质和G的连续性，用有理数逼近无理数。最终实现证明G(kx)=kG(x)，k属于R。令x=1就完成了。

一.公式基本结构设ai、bi∈R，（i＝1，2，3……，n）（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≦（a12+ a22+a32 +…+an2）(b12 +b22+b32+…+bn2) 当且仅当bi＝kai（i＝1，2，……，n）时，k为常数时等号成立二阶形式（a1b1+a2b2）2≦（a12+ a22）(b12 +b22) 三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≦（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32) 二．证明先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）构造f(x) =（a12+ a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12 +b22+b32) =(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0 △=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32) 对于任意的x∈R等式恒成立, ∴△≤0，∴当且仅当时，取“=”

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步。　　柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。

6，什么是柯希不等式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy- Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。　　柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。　　柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。[编辑本段]【柯西不等式】　　二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 　　等号成立条件：ad=bc 　　三角形式　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2] 　　等号成立条件：ad=bc 　　注：“√”表示平方根，　　向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。　　一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。　　上述不等式等同于图片中的不等式。　　推广形式　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m 　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。[编辑本段]【柯西不等式的证明】　　二维形式的证明　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R) 　　＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 　　＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 　　＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2 　　≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。　　一般形式的证明　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　证明：　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2 　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0 　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0 　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，　　移项得AC≥B，欲证不等式已得证。　　向量形式的证明　　令m＝(a1, a2, …, an)，n＝(b1, b2, …, bn) 　　m·n＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|m||n|cos＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) ×cos 　　∵cos≤1 　　∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) 　　注：“√”表示平方根。　　注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。[编辑本段]【柯西不等式的应用】　　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。　　巧拆常数证不等式　　例：设a、b、c为正数且互不相等。　　求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)∵a 、b 、c 均为正数　　∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9 　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 　　又9=(1+1+1)^2 　　∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9 　　又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足　　∴原不等式成立　　求某些函数最值　　例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。　　注：“√”表示平方根。　　　　函数的定义域为[5, 9]，y＞0 　　y=3√(x－5)＋4√(9－x) 　　≤√(3^2＋4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 ＋ [√(9－x)] ^2 } 　　＝5×2＝10 　　函数在且仅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44时取到。

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