为了使其始终有解，有必要将整数系展开为有理system,有理数集可以用大写黑正字法符号q来表示.但q并不表示有理数集，q表示有理数集,实数包括有理数和无理数,不是有理的实数叫做无理数,0也是有理数字,有理数和无理数并列,有理号集和有理号是两个不同的概念,因此有理数集的个数可分为正有理数、负有理数和零。
分数在公元前17世纪被古埃及人使用，中国的九子算术也包含了分数的各种运算。分数的使用是由于除法的需要。除法运算可以看作是求解方程px=q(p≠0)。如果p和q都是整数，方程不一定有整数解。为了使其始终有解，有必要将整数系展开为有理 system。有理数系统的严格理论可以通过以下方式建立。在Z×(Z-)即整数有序偶(但第二个二元不等于零)的集合上定义了如下等价关系:设p1，p2Z，q1，q2Z-，若p1q2=p2q1。它叫做(p1，Q2) ~ (P2，q1)。Z×(Z-)关于这种等价关系的等价类叫做有理 number。(p，q)所在的号码有理记为。一切有理的集合记为q，设整数p对应于(p，1)所属的等价类，然后将整数集合嵌入到有理 number的集合中。因此，数制有理可以说是由整数制扩展而来的数制。
有理数和无理数并列。有理数的特点:-0/数的小数部分是一个有限或无限循环数。无理数的特点:无理数的小数部分是无限循环数。有理 number是整数和分数的集合，整数也可以看成分母为1的分数。有理 number的小数部分是一个有限或无限循环数。不是有理 number的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限无环数。实数包括有理数和无理数。对有理 number的理解有理 number是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和分数统称为正有理数，负整数和分数统称为负有理数。因此有理数集的个数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何整数或分数都可以转换成十进循环十进制，反之亦然，有理也可以定义为十进循环十进制。
数学上，有理 number是整数A与非零整数B的比值，例如3/8，一般规律是a/b，所以也叫分数。0也是有理数字。有理 number是整数和分数的集合，整数也可以看成分母为1的分数。有理 number的小数部分是有限的或循环的。不是有理的实数叫做无理数。有理数集可以用大写黑正字法符号q来表示.但q并不表示有理数集，q表示有理数集。有理号集和有理号是两个不同的概念。有理 number集合是其元素全部是有理 number的集合，而有理 number是有理 number集合中的全部元素。
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