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1，求函数值域的方法

函数是中学数学的重要基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的关系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等都是难点，是高考的常见题型考查的知识点。下面列出函数值域的十二种求法，以便于广大师生系统掌握求函数值域的初等求解方法。 　　一、观察法 　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式求得函数的值域。 　　以上就是本文整理出的有关求函数值域问题的十二种解法，当然求函数值域问题的方法不止这些，还有分离函数法、三角换元法等。这里只是对求值域问题方法作部分的归纳，具体的方法还有待读者进一步地发现和总结。由于值域问题的解题方法的灵活多样性，因此教师在对值域问题的教学活动中应重视思想方法的渗透，把发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。

求函数值域的方法

2，函数的值域怎么算

求函数的值域的常用方法如下：1、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。5、换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。6、判别式法：判别式法即利用二次函数的判别式求值域。7、不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a，b∈R+）求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。8、折叠三角代换法：利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1。直接计算麻烦，用三角代换法比较简单。做法：设a=sinx ，b=cosx，c=siny ，d=cosy，则ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy =cos（y-x），因为我们知道cos（y-x）小于等于1，所以不等式成立。

函数的值域怎么算

3，函数值域怎么求

函数值域怎么求？答：你这个问题很大，很难详细解答。但有两个大原则：(1).先求函数的定义域，讨论函数的值域必须在函数的定义域内进行，而初学者往往忽略这一点；(2).用什么方法一定要根据函数的形式和性质，没有一成不变的方法。概括的讲，大概有以下一些方法：①导数法：如果学过导数，那么可用导数求出函数在定义域或指定区间内的极值和最值；②反函数法：反函数的定义域就是直接函数的值域，而定义域比值域要好求得多；③基本不等式法：如果能用基本不等式求解，那是一件很愉快的事；④极限法：对某些定义域为R，或函数有无穷型间断点时，可以考虑用极限求值域；⑤函数性质法：比如二次函数，三角函数，对数函数，指数函数等都有一些特殊性质可供利用；⑥其它：俱如把函数式裂项，分解，配项，转换，等等手段都是可考虑采用的方法；
要求值域要考虑解析式的定义域、函数的增减性，在此条件下求出函数的最大、最小值即可
函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

函数值域怎么求

4，函数的值域如何求

函数的值域的7种题型如下：1、一次函数y=ax+b (a≠0）的值域（最值）。2、二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0）的值域（最值）。3、一次分式函数的值域。4、二次分式函数y=(dx2+ex+c)/(ax2+bx+c )的值域。5、形如y=ax+b±√（cx+d)的值域。6、分段函数的值域。7、复合函数的值域。值域的求法1、直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2、观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3、配方法： (或者 说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。4、拆分法：对于形如y=cx+d, ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与个 分式，再易观察出函数的值域。5、单调性法： y≠ka. 一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出西数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6、数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7、判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8、换元法：适用于有根号的函数

5，函数求值域怎么求啊

这得具体情况具体分析，不能一概而论，只要你能画出图像求什么函数的值域都可以了，实在画不出来，用计算机软件去画
求函数值域的几种常见方法 1直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为 9.三角函数与二次函数结合求y=（sinx+1）（2cosx-2）（x∈R）的值域 因为y=2sinxcosx-2sinx+2cosx-2=2sinxcosx-2(sinx-cosx)-2 令sinx-cosx=t 因为(sinx-cosx)2=t2 sin2x-2sinxcosx+cos2x=t2 1-2sinxcosx=t2 所以2sinxcosx=1-t2, 所以y=1-t2-2t-2y=-t2-2t-1=-（t+1)2 又因为t=sinx-cosx=√2sin(x-π/4) 由正弦函数的性质可得-√2≤t≤√2 因为-1∈[-√2,√2]由由二次函数在限定区间的单调性可 得当t=-1时,y取最大值 y(max)=0当t=√2时,,y取最小值 y(min)=-3-2√2 所以原函数的值域为[-3-2√2,0]
通过定义域和函数关系式来求 或者用图像法
值域的取值要看定义域和对应法则，y=f(x),x是定义域，f（）对应法则
先找出定义域，带到里面看看值域的取值范围即可
先求定义域，再从定义域求值域，

6，函数值域怎么求

函数的值域可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。一、配方法将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。函数：函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

7，函数值域求法

因为sinx是以2π为周期且值域为（ - 1，1）的函数。所以 y =（1 - 2sinx）/（1 + 2sinx）也是以2π为周期的函数。x≠2kπ - π/6 且 x≠2kπ + 5π/6。设sinx=m，函数变为 y =（1 - 2m）/（1 + 2m），m≠ - 1/2。则 - 1＜m＜1，且m≠ - 1/2。即定义域为： m∈（ - 1，- 1/2）∪（ - 1/2，1）y =（1 - 2m）/（1 + 2m）= 2/（1 + 2m） - 1函数为反比例函数，在（-∞，- 1/2）和（ - 1/2，+∞）均为单调递减。所以其在（ - 1，- 1/2）∪（ - 1/2，1）上都是单调递减。m∈（ - 1，- 1/2）是，y＜ - 3；m∈（ - 1/2，1）时，y＞ - 1/3。所以值域为（ - ∞，- 3）∪（ - 1/3，+∞）
1.导数法 利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂 2.分离常数 如 x^2/(x^2+1)将其分离成 1－1/(x^2+1)再判断值域 3.分子分母同除以某个变量 如x/(x^2+1)同时除以x得 1/（x+1/x）分母的值域很好求，再带进整个函数即可 4.换元法 可以说是3的拓展 如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。 令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形 5.基本换元法 型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如 t^2+t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域 6.倒数法 和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。 以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

8，值域怎么求啊

f(x)是偶函数，将f(x)平方求[0,1]上的值域f^2(x)=2+2根号(1-x^2)f^2(x)值域是[2,4]，f(x)>0f(x)的值域是[根号2,2]
函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax b(a 0)的定义域为r,值域为r; 反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0}; 二次函数 的定义域为r, 当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }. 例1.求下列函数的值域 ① y=3x 2(-1 x 1) ② ③ ④ 解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3, ∴-1 3x 2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0,∴ = , 当x<0时, =- ∴值域是 [2, ).(此法也称为配方法) 函数 的图像为: 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① ; 解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域r, ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 , ⑴若定义域为r时, ①当a>0时,则当 时,其最小值 ; ②当a<0时,则当 时,其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法): 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3.求函数 的值域 方法一:去分母得 (y-1) (y 5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?r ∴△=(y 5) 4(y-1)×6(y 1) 0 由此得 (5y 1) 0 检验 时 (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述,函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二:把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4.换元法 例4.求函数 的值域 解:设 则 t 0 x=1- 代入得 5.分段函数 例5.求函数y=|x 1| |x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y 3}. 解法2:∵函数y=|x 1| |x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3, ]. 如图 两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法. 说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法. 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法. 因为不同的函数有不同的方法 ,上面是基本的方法 ,所以没有捷径。 按照给出的特点,对照要求的函数 ,如果符合要求,代入可以求的。

9，值域怎么求

化归法在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。 把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法；解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。。 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y2+3y+2-12=y2+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x2+x+5)(x2+x-2)　=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．　例2，(x+5)+(y-4)=8　(x+5)-(y-4)=4　令x+5=m,y-4=n　原方程可写为　m+n=8　m-n=4　解得m=6,n=2　所以x+5=6,y-4=2　所以x=1,y=6 注意：换元后勿忘还原；利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域；图像法根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。配方法利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。单调性法利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。反函数法若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。换元法包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围[1] 。判别式法判别式法即利用二次函数的判别式求值域。复合函数法设复合函数为f[g(x)，]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域；三角代换法利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1. 直接计算麻烦 用三角代换法比较简单：做法：设a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,则 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因为我们知道cos (y-x)小于等于1，所以不等式成立。；不等式法基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。分离常数法把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子值域：数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．
把定义域代进去
函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax b(a 0)的定义域为r,值域为r; 反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0}; 二次函数 的定义域为r, 当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }. 例1.求下列函数的值域 ① y=3x 2(-1 x 1) ② ③ ④ 解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3, ∴-1 3x 2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0,∴ = , 当x<0时, =- ∴值域是 [2, ).(此法也称为配方法) 函数 的图像为: 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① ; 解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域r, ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 , ⑴若定义域为r时, ①当a>0时,则当 时,其最小值 ; ②当a<0时,则当 时,其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法): 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3.求函数 的值域 方法一:去分母得 (y-1) (y 5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?r ∴△=(y 5) 4(y-1)×6(y 1) 0 由此得 (5y 1) 0 检验 时 (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述,函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二:把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4.换元法 例4.求函数 的值域 解:设 则 t 0 x=1- 代入得 5.分段函数 例5.求函数y=|x 1| |x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y 3}. 解法2:∵函数y=|x 1| |x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3, ]. 如图 两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法. 说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法. 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法. 因为不同的函数有不同的方法 ,上面是基本的方法 ,所以没有捷径。 按照给出的特点,对照要求的函数 ,如果符合要求,代入可以求的。

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