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常言道：“万事开头难”。要想上好一堂数学课，良好的开端是成功的一半。几十年来，我一直努力探索和试验，总结出了数学课的几种导入方法。 一、温固知新导入法 温固知新的教学方法，可以将新旧知识有机的结合起来，使学生从旧知识的复习中自然获得新知识。例如：在讲切割定理时，先复习相交弦定理内容及证明，即“圆”内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。然后移动两弦使其交点在圆外有三种情况。这样学生较易理解切割线定理、推论的数学表达式，在此基础上引导学生叙述定理内容，并总结圆幂定理的共同处是表示线段积相等。区别在于相交弦定理是交点内分线段，而切割线定理，推论是外分线段、切线上定理的两端点重合。这样导入，学生能从旧知识的复习中，发现一串新知识，并且掌握了证明线段积相等的方法。 二、类比导入法 在讲相似三角形性质时，可以从全等三角形性质为例类比。全等三角形的对应边、对应角、对应线段、对应周长等相等。那么相似三角形这几组量怎么样？这种方法使学生能从类推中促进知识的迁移，发现新知识。 三、亲手实践导入法 亲手实践导入法是组织学生进行实践操作，通过学生自己动手动脑去探索知识，发现真理。例如在讲三角形内角和为１８０°时，让学生将三角形的三个内角剪下拼在一起。从而从实践中总结出三角形内角和为１８０°，使学生享受到发现真理的快乐。 四、反馈导入法 根据信息论的反馈原理，一上课就给学生提出一些问题，由学生的反馈效果给予肯定或纠正后导入新课。如在上直角三角形习题课时，课前可以先拟一个有代表性的习题让学生讨论。 五、设疑式导入法 设疑式导入法是根据中学生追根求源的心理特点，一上课就给学生创设一些疑问，创设矛盾，设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知的一种方法。例如：有一个同学想依照亲戚家的三角形玻璃板割一块三角形，他能不能把玻璃带回家就割出同样的一块三角形呢？同学们议论纷纷。然后，我向同学们说，要解决这个问题要用到三角形的判定。现在我们就解决这个问题——全等三角形的判定。 六、演示教具导入法 演示教具导入法能使学生把抽象的东西，通过演示教具形象、具体、生动、直观地掌握知识。例如：在讲弦切角定义时，先把圆规两脚分开，将顶点放在事先在黑板上画好的圆上，让两边与园相交成圆周角∠ＢＡＣ，当∠ＢＡＣ的一边不动，另一边ＡＢ绕顶点Ａ旋转到与圆相切时，让学生观察这个角的特点，是顶点在圆上一边与圆相交，另一边与圆相切。它与圆周角不同处是其中一条边是圆的切线。这种教学方法，使学生印象深，容易理解，记得牢。 七、直接导入法 它是一上课就把要解决的问题提出来的一种方法。如在讲切割定理时，先将定理的内容写在黑板上，让学生分清已知求证后，师生共同证明。 八、强调式导入法 根据中学生对有意义的东西感兴趣的特点，一上课就叙述本课或本章的重要性的一种方法。例如：三角形是平面几何的重点，而圆是平面几何重点的重点，它在中考试题中占有重要地位，是将来学习深造的基矗今天，我们就学习，第七章圆。总之，数学的导入法很多，其关键就是要创造最佳的课堂气氛和环境，充分调动内在积极因素，激发求知欲，使学生处于精神振奋状态，注意力集中，为学生能顺利接受新知识创造有利的条件。

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一 代数知识是在算术知识的基础上发展起来的，其特点是用字母表示数，使数的概念及其运算 法则抽象化和公式化。初中一年级刚接触代数时，学生要经历由算术到代数的过渡，这里的 主要标志是由数过渡到字母表示数，这是在小学的数的概念的基础上更高一个层次上的抽 象。字母是代表数的，但它不代表某个具体的数，这种一般与特殊的关系正是初一学生学习 的困难所在。 为了克服初一新生对这一转化而引发的学习障碍，教学中要特别重视“代数初步知识”这一 章的教学。它是承小学知识之前，启初中知识之后，开宗明义，搞好中小学数学衔接的重要 环节。数学中要把握全章主体内容的深度，从小学学过的用字母表示数的知识入手，尽量用 一些字母表示数的实例，自然而然地引出代数式的概念。再讲述如何列代数式表示常见的数 量关系，以及代数式的一些初步应用知识。要注意始终以小学所接触过的代数知识（小学没 有用“代数”的提法）为基础，对其进行较为系统的归纳与复习，并适当加强提高。使学生 感到升入初一就像在小学升级那样自然，从而减小升学感觉的负效应。 初一代数的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目 的是在总体上给学生一个认识，使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍：（1）数学的 特点。（2）初中数学学习的特点。（3）初中数学学习展望。（4）中学数学各环节的学习 方法，包括预习、听讲、复习、作业和考核等。（5）注意观察、记忆、想象、思维等智力 因素与数学学习的关系。（6）动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的 联系。 二 学生对于数的概念，在小学数学中虽已有过两次扩展，一次是引进数0，一次是引进分数（指 正分数）。但学生对数的概念为什么需要扩展，体会不深。而到了初一要引进的新数——— 负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于“升高”、“下降”的这种说 法，而现在要把“下降5米”说成“升高负5米”是很不习惯的，为什么要这样说，一时更 不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。我们在正式 引入负数这一概念前，先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理，使学生注意到数的概 念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的，也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发 新数集的扩展。即自然数集添进数0→扩大自然数集（非负整数集）添进正分数→算术数集 （非负有理数集）添进负整数、负分数→有理数集……。这样就为数系的再一次扩充作好准 备。正式引入负数概念时，可以这样处理，例：在小学对运进60吨与运出40吨，增产3 00千克与减产100千克的意义已很明确了，怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示 出来呢？从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常 地接触到的，而这种量除了要用小学学过的算术数表示外，还要用一个语句来说明它们的相 反的意义。如果取一个量为基准即“0”，并规定其中一种意义的量为“正”的量，与之相 反意义的量就为“负”的量。用“＋”表示正，用“－”表示负。这样，逐步引进正、负数 的概念，将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心理产生认同，进而顺利地把数的 范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数，使学生不至产生巨大的跳跃感。 三 初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对 值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的“参算”下往往出现计算 上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。另外，对于运 算结果来说，计算的结果也不再像小学那样唯一了。如｜a｜，其结果就应分三种情况讨论。 这一变化，对于初一学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题， 要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理 数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。但是，初一学生的数学基础尚 不能透彻理解这些运算法则，所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四 则运算最终要归结为非负数的运算，因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键 点。而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念，“数轴”又是讲授这两个概念的基础， 一定要注意数形结合，加强直观性，不能急于求成。学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概 念，是要有一个过程的。在结合实例利用数轴来说明绝对值概念后，还得在练习中逐步加深 认识、进行巩固。 学生在小学做习题，满足于只是进行计算。而到初一，为了使其能正确理解运算法则，尽量 避免计算中的错误，就不能只是满足于得出一个正确答案，应该要求学生每做一步都要想想 根据什么，要灵活运用所学知识，以求达到良好的教学效果。这样，不但可以培养学生的运 算思维能力，也可使学生逐步养成良好的学习习惯。 四 进入初中的学生年龄大都是11至12岁，这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维 过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成，决定了列方程解应用题的学习将是初一学 生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小，效果不佳。因为学 生解题时只习惯小学的思维套用公式，属定势思维，不善于分析、转化和作进一步的深入思 考，思路狭窄、呆滞，题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时，主要存在三个方 面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解 法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。这头一个方面是主要的，解决 了它，另两个方面就都好解决了。所以，小学数学第八册列方程解应用题教学时，一要使学 生掌握算术法和代数法的异同点，并讲清列方程解应用题的思路；二要有针对性地让学生加 强把实际中的数量关系改写成代数式的训练，这样对小学生逆向思维有好处，使较复杂的应 用题化难为易。初一讲授列方程解应用题教学时，要重视知识发生过程。因为数学本身就是 一种思维活动，教学中要使学生尽可能参与进去，从而形成和发展具有思维特点的智力结构。 要让学生始终参加审题、分析题意、列方程、解方程等活动，了解列方程解应用题的实际意 义和解题方法及优越性，这其中审题应是最为关键的一环。要想法弄清题意，找出能够表示 应用题全部含义的一个相等关系。找不出相等关系，方程就列不出来，而找出这样的等量关 系后，将其中涉及的待求的某个数设为未知数，其余的量用已知数或含有已知数与未知数的 代数式表示出来，方程就列出来了。要教会学生通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关 系、列出方程解决问题的方法，使之形成“观察———分析———归纳”的良好习惯，这对 于整个数学的学习都是至关重要的。另外，在教学中还要告诉学生，有些问题用算术法解决 是不方便的，只有用代数解法。对于某些典型题目在帮助学生用代数方法解出后，同时与算 术解法作比较，使学生有个更清晰的认识，从而逐渐摒弃用算术解法做应用题的思维习惯。 总之，学生在小学数学中接触的都是较为直观、简单的基础知识，而升入初一后，要学的知 识在抽象性、严密性上都有一个飞跃，作为初一数学教师，认真分析研究有关问题，对搞好 中小学数学课堂教学的衔接和提高教学质量有很大的现实意义

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开放型习题是相对有明确条件和明确结论的封闭式习题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的习题。 练习是数学教学重要的组成部分，恰到好处的习题，不仅能巩固知识，形成技能，而且能启发思维，培养能力。在教学过程中，除注意增加变式题、综合题外，适当设计一些开放型习题，可以培养学生思维的深刻性 和灵活性，克服学生思维的呆板性。 一、运用不定型开放题，培养学生思维的深刻性 不定型开放题，所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而培养学生思维的深刻性。 如：学习“真分数和假分数”时，在学生已基本掌握了真假分数的意义后，问学生：b／a是真分数，还是假分数？因a、b都不是确定的数，所以无法确定b／a是真分数还是假分数。在学生经过紧张的思考和激烈的争论后得出这样的结论：当b＜a时，b／a为真分数；当b≥a时， b／a是假分数。这时教师进一步问：a、b可以是任意数吗？ 这样不仅使学生对真假分数的意义有了更深刻的理解，而且使学生的逻辑思维能力得到了提高。 又如，学习分数时，学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”往往混淆不清，以致解题时在该知识点上出现错误，教师虽反复指出它们的区别，却难以收到理想的效果。在学习分数应用题后，让学生做这样一道习题：“有两根同样长的绳子，第一根截去9／10，第二根截去9／10米，哪一根绳子剩下的部分长？”此题出示后，有的学生说：“一样长。”有的学生说：“不一定。”我让学生讨论哪种说法对，为什么？学生纷纷发表意见，经过讨论，统一认识：“因为两根绳子的长度没有确定，第一根截去的长度就无法确定，所以哪一根绳子剩下的部分长也就无法确定，必须知道绳子原来的长度，才能确定哪根绳子剩下的部分长。”这时再让学生讨论：两根绳子剩下部分的长度有几种情况？经过充分的讨论，最后得出如下结论：①当绳子的长度是1米时，第一根的9／10等于9／10米，所以两根绳子剩下的部分一样长；②当绳子的长度大于1米时，第一根绳子的 9／10大于9／10米，所以第二根绳子剩下的长；③当绳子的长度小于1米时，第一根绳子的9／10小于9／10 米 ，由于绳子的长度小于9／10米时，就无法从第二根绳子上截去9／10米，所以当绳子的长度小于1米而大于9／ 10米时，第一根绳子剩下的部分长。 这样的练习，加深了学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”的区别的认识，巩固了分数应用题的解题方法，培养了学生思维的深刻性，提高了全面分析、解决问题的能力。 二、运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性 多向型开放题，对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。 如：甲乙两队合修一条长1500米的公路，20天完成，完工时甲队比乙队多修100米，乙队每天修35米，甲队每天修多少米？ 这道题从不同的角度思考，得出了不同的解法： 1、先求出乙队20天修的，根据全长和乙队20 天修的可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。 算式是（1500－35×20）÷20 2、先求出乙队20天修的，根据乙队20天修的和甲队比乙队多修100米可以求出甲队20天修的，然后求甲队 每天修的。 算式是：（35×20＋100）÷20 3、可以先求出两队平均每天共修多少米， 再求甲队每天修多少米。 算式是：1500÷20－35 4、可以先求出甲队每天比乙队多修多少米， 再求甲队每天修多少米。 算式是：100÷20＋35 5、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，然后求两队每天修的，再求甲队每 天修的。 算式是：（1500＋100）÷20÷2 6、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，然后求甲队20天修的，再求甲队每 天修的。 算式是：（1500＋100）÷2÷20 7、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500＋100）米，也就是甲队（20×2）天修的，由此 可以求出甲队每天修的。 算式是：（1500＋100）÷（20×2） 然后引导学生比较哪种方法最简便，哪种思路最简捷。 这类题，可以给学生最大的思维空间，使学生从不同的角度分析问题，探究数量间的相互关系，并能从不 同的解法中找出最简捷的方法，提高学生初步的逻辑思维能力，从而培养学生思维的广阔性和灵活性。 三、运用多余型开放题，培养学生思维品质的批判性 多余型开放题，将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素，这就需要在解题时，认真分析 条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养 学生思维的批判性。 如：一根绳子长25米，第一次用去8米，第二次用去12米， 这根绳子比原来短了多少米？ 由于受封闭式解题习惯的影响，学生往往会产生一种凡是题中出现的条件都要用上的思维定势，不对题目 进行认真分析，错误地列式为：25－8－12或25－（8＋12）。 做题时引导学生画图分析，使学生明白：要求这根绳子比原来短了多少米，实际上就是求两次一共用去多 少米，这里25米是与解决问题无关的条件，正确的列式是：8＋12。 通过引导分析这类题，可以防止学生滥用题中的条件，有利于培养学生思维的批判性，提高学生明辨是非 、去伪存真的鉴别能力。 四、运用隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性 隐藏型开放题，是解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意容易遗漏。在解题时既要考虑问题及 明确的条件，又要考虑与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真细致的审题习惯和思维的缜密性 。 如：做一个长8分米、宽5分米的面袋，至少需要白布多少平方米？ 解答此题时，学生往往忽视了面袋有“两层”这个隐藏的条件，错误地列式为：8×5，正确列式应为：8× 5×2。 解此类题时要引导学生认真分析题意，找出题中的隐藏条件，使学生养成认真审题的良好习惯，培养学生 思维的缜密性。 五、运用缺少型开放题，培养学生思维的灵活性 缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可得到解决。 如：在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆，所剪圆的面积是多少平方厘米？ 按常规的思考方法：要求圆的面积，需先求出圆的半径，根据题意，圆的半径就是正方形边长的一半，但 根据题中所给条件，用小学的数学知识无法求出。换个角度来考虑：可以设所剪圆的半径为r， 那么正方形的 边长为2r， 正方形的面积为（2r）[2]＝4r[2]＝12，r[2]＝3，所以圆的面积是3.14×3＝9.42（平方厘米）。 还可以这样想：把原正方形平均分成4个小正方形， 每个小正方形的边长就是所剪圆的半径，设圆的半径 为r， 那么每个小正方形的面积为r[2]，原正方形的面积为4r[2]，r[2]＝12÷4，所剪圆的面积是3.14×（12 ÷4）＝9.42（平方厘米）。 通过此类题的练习，有利于培养学生思维的灵活性，提高灵活解题的能力。 解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，解题时往往需要从多个不同角度进行思考和深索，且有些问 题的答案是不确定的，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，提高学生的学习兴趣，调动学生主动参 与的积极性。
随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。 在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用z，y分别表示第一次和第二次出现的点数，z和y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（z，y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合｛（1，1）｝表示“点数之和为4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3个基本事件组成，可用集合｛（1，3），(3，1)，（2，2)｝表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件 ，在试验中此事件一定发生，所以称为必然事件。若a是一事件，则“事件a不发生”也是一个事件，称为事件a的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究。 古典概率 古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件a包含m个基本事件，则定义事件a发生的概率为p（a）＝m／n，也就是事件a发生的概率等于事件a所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是p.-s.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。 几何概率 若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。 概率的频率定义 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。r.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。a.h.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。

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