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1，初中数学竞赛题

x-3y=2 ⑴ 2x+3y=18 ⑵ 求xy ⑴+⑵ 3X=20 x=20/3 带入1得 20/3-3Y=2 Y=14/9

初中数学竞赛题

2，数学初中竞赛题

三角形的三边长可表示为：AB=2r sin（C）等等，可以用三角函数表示AH（AH=AE-HE,HE由三角形HEC与BDC相似求得）的长，在利用AH=r，即可得到一个三角函数，最后可化简为cos（A）=1/2，由此证得角BAC等于60度。

数学初中竞赛题

3，初中数学竞赛题

答案495 证明 设最大原数为M=100a+10b+c最小为N=100c+10b+a则M-N=99a-99c=100(a-c)-(a-c) a-c(1~9)M-N=990,891,792,693,594,495,396,297,198,099继续算就是990变成891,891变成792到594变成495，但495再计算还是495,099与990相同 ……之后就都是495了.
495
（三个数位上的数字不相同的话）结果为：495

初中数学竞赛题

4，初中数学竞赛试题

解：因为x+y+z=1/x+1/y+1/z=1， 所以x+y = 1-z1/x+1/y=1-1/z整理得(x+y)/xy = (z-1)/z等量代换得(1-z)/xy = (z-1)/z解得z = 1 或 xy = -z若xy = -z，又x+y=1 -z则x,y是方程 m2 +(z-1)m -z = 0 的两个根解得x = 1, y = -z, 或y = 1， x = -z所以 x y z 中至少有一个为1
x+y = 1-z1/x+1/y=1-1/z即(x+y)/xy = (z-2)/2z(1-z)/xy = (z-2)/2zz = 1 或 xy = -z若xy = -z，x+y= -z根据韦达定理x,y是方程 t^2 +(z-1)t -z = 0 的两个跟x = 1, y = -z, 或y = 1， x = -z所以 x y z 中至少有一个为1

5，初中数学竞赛题

由韦达定理，x1*x2=5pq>0,因方程至少有一个正整数根，故方程两根均为正数。x1+x2=8p－10q=2（4p－5q）为正偶数，故方程两根均为正整数（整数+整数=整数），且均为偶数，或均为奇数。p>(5/4)q.当x1，x2均为偶数时，积为4的倍数，由x1*x2=5pq，p=q=2，此时x1+x2=-4<0,矛盾！故x1，x2均为奇数，积也为奇数，由x1*x2=5pq，p,q均为奇质数。一。当x1=5，x2=pq时,即5+pq=8p－10q，（p+10)(8-q)=85=17*5,p+10>=3+10=13,故p+10=85，8-q=1或p+10=17，8-q=5，解得p=75，q=7（舍去）或p=7，q=3二。当x1=p，x2=5q时，即p+5q=8p－10q,7p=15q=5*3*q,显然不存在质数p，q满足上式。三。当x1=q，x2=5p时，即q+5p=8p－10q,3p=11q,解得p=11,q=3。由x1，x2的对称性知只有以上三种情形，故所有的质数对(p，q)为(7,3),(11,3).

6，初中数学竞赛题

1、将第一条式子两边平方，将第二条式子代进该式子，得出xy=ab，用此式子与第二条式子构造关于x与y的完全平方差：（x-y）^2=(a-b)^2。即x-y=a-b，联立第一条式子，解出x=a，y=b，答案得证 2、第一条式子两边平方后与第一条式子联立可即刻得出2ab=-1，将第一与第二式子左边相乘得：a^3+b^3+ab(a+b)=2即a^3+b^3=5/2,依此再将此式子与第一式子相乘同样得出a^4+b^4=7/2,依此类推 a^7+b^7=71/8 3、左右全部展开后，将右边的-bc移到左边，左边就能变成b与c的完全平方和后，再将右边全部移到左边得?(b+c)^2-a(a+b)+a^2=0,即完全平方和【1/2(b+c)-a】^2=0,则1/2(b+c)=a,所以（b+c）/a=2
第一题： 设x+y=a+b=k; x^2+y^2=a^2+b^2变换为 x^2+(k-a)^2=a^2+(k-b)^2 两边整理一下后得出来的结果是 x^2-kx=a^2-2ka 移项后 x^2-a^2=k（x-a）所以得出来的结果是x=a,y=b 或者x=b,y=a。 所以x^1997=a^1997,y^1997=b^1997的情况下，x^1997+y^1997=a^1997+b^1997。 或者x^1997=b^1997，y^1997=a^1997的情况下，x^1997+y^1997=a^1997+b^1997。 第二道题： a+b=1，a^2+b^2=2，解得： ab=—1/2; a^7+b^7=a^7(a+b)+b^7(a+b)=a^8+b^8+ab^7+a^7b=(a^8+b^8)+ab(a^6+b^6)=[(a^4+b^4)^2-2a^4b^4]+ab[(a^3+b^3)^2-2a^3b^3]=)=[((a^2+b^2)^2-2a^2b^2)^2-2a^4b^4]+ab[((a+b)(a^2+b^2-ab))^2-2a^3b^3]=11/4; 第三题: 设（b+c）/a=k; ?(b-c)^2=(a-b)(c-a) b^2+c^2-2bc=4(ac-bc-a^2+ab) 因为我们已经设(b+c)=ka^2 ka^2-4bc=4[a(b+c)-(bc+a^2)] 整理一下： ka^2=4ka^2-4a^2 3ka^2=4a^2 因为a≠0 所以k=4/3; 即（b+c）/a=4/3;
（1）解：由x+y=a+b两边平方得x^2+y^2+2xy=a^2+b^2+2ab. 所以xy=ab,又x+y=a+b.所以x,y是方程z^2-(a+b)z+ab=0的根。 因此：x=a,y=b.或x=b,y=a. 结果得证。

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