康托尔定理，康托定理的内容急

1，康托定理的内容急

离散数学的集合论中，关于集合的等势有个康托定理：（1）N R（2）对任意集合A都有A P(A)。

呃再看看别人怎么说的。

康托定理的内容急

2，什么是康托尔伯恩斯坦施罗德定理

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理（Cantor-Bernstein-Schroeder theorem）是集合论中的一个基本定理，得名于康托尔、Felix Bernstein 和 Ernst Schr?der。该定理陈述说：如果在集合 A 和 B 之间存在单射f : A → B 和 g : B → A，则存在一个双射 h : A→ B。从势的角度来看, 这意味着如果 |A| ≤ |B| 并且 |B| ≤ |A|，则 |A| = |B|，即A与B等势。显然，这是在基数排序中非常有用的特征。

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什么是康托尔伯恩斯坦施罗德定理

3，康托尔集是有什么性质

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

http://baike.baidu.com/view/2894253.htm?fr=ala0_1 这里有的哦

http://baike.baidu.com/view/34267.htm

康托尔三分集是一个不含任何区间的闭集，测度等于零，是不可列的完全集，势为阿列夫

康托尔集是有什么性质

4，康托悖论是什么内容

引自百度百科：http://baike.baidu.com/view/585879.htm有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2^n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n>n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。

如果一个人真的“返回过去”，并且在其母亲怀他之前就杀死了自己的外祖母，那么这个跨时间旅行者本人还会不会存在呢？这个问题很明显，如果没有你的外祖母就没有你的母亲，如果没有你的母亲也就没有你。对于“外祖母悖论”，物理界就产生了平等历史(也叫平行宇宙)的说法。这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界大战、电脑网络]……如果将整个工业时代去掉，那至此以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影。这个时候“外祖母悖论”就有了的解释，一个人可以回到过去杀死自己的外祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人。根据多世界的理论，每当记录下一个观测结论或者做出一个决定时，就会出现一个道路分支。那当然，世界更寸步的分裂发生在量子层，即使原子中的一个电子从一个能量级变化至另一个能量级，或者说两个电子自旋的方向不一致也会导致不同的可能性发生而所有不同的可能性分裂出一个宇宙。李连杰的电影《the one》救世主里，就运用了平行宇宙的概念，把宇宙大约分为平行的180个。

5，怎样证明康托尔定理

Cantor定理有很多，即使和实数相关的也不少，你必须讲清楚是哪个，最好的方式就是你把命题叙述一遍，别人才能教你，不要指望有人把所有以Cantor命名的定理都给你解释一遍。

康托尔定理指的是在集合论中，任何集合a的幂集p(a)的势严格大于a的势。康托尔定理对于有限集合成立，对于无限集合也同样成立。下面给出由集合论的创始人康托尔于1891年所做的康托尔定理的证明: 设 f 是从 a 到 a 的幂集p(a)的任何函数。必须证明这个f必定不是满射的。要如此，展示一个a的子集不在f的像中就足够了。这个子集是: b=要证明 b 不在 f 的像中，假设 b 在 f 的像中。那么对于某个 y ∈ a，我们有 f(y) = b。现在考虑 y ∈ b 还是 y /∈b?如果 y ∈ b，则 y ∈ f(y)，但是通过 b 的定义，这蕴涵了y /∈b。在另一方面，如果 y /∈b，则 y /∈f(y) 并因此 y∈b。任何方式下都是矛盾。因为 x 在表达式 "x /∈f(x)" 中重复出现，这是对角论证法。下面通过一个实例来详细的讲解一下康托尔定理的证明过程:设自然数集合n=假设n与p(n)之间是存在双射的,我们将尝试对n的每个元素都配对上p(n)的元素，使得这两个集合中没有元素是未配对的。配对元素的尝试将是如下样子的: 1------> 2------> 3------> 4------> 5------->............. 在上述对应中,某些自然数被配对上p(n)中不包含它们的子集。例如，数1被配对上使用这个想法，让我们建造一个自然数的特殊集合:设d是被配对上不包含它们的子集的所有自然数的集合。通过定义，则幂集 p(n) 必定包含这个集合 d 作为元素。所以d必定被配对上某个自然数。但是这导致了一个问题 : 哪个自然数和d配对呢? 它不能是d的成员，因为d被特殊构造为只包含那些不配对上包含它们的子集的自然数。在另一方面如果配对于d的自然数不包含在d中，则再次通过d的定义，它必定包含在d中. 这个矛盾是因为这个自然数不能同时出现在d的内部和外部。所以，没有自然数可以配对于 d，而我们的最初假定在n 和p(n)之间存在双射是有矛盾的。所以n与p(n)之间不存在双射,而n的势不能大于p(n)的势,所以p(n)的势必大于n的势. 根据上述康托尔定理的证明思路,下面我们来考虑一下这个命题:康托尔运用一一对应的方法证明了全体偶数集合与全体自然数集合等势,则根据康托尔定理,偶数集合的幂集合p（m）与自然数集的幂集合p（n）也应该是等势的。既然n与p（n）之间不存在双射，则n与偶数集合的幂集合p（m）之间同样不能存在双射，否则就会有矛盾,但事实的确是这样的吗？首先我们来假设n到偶数集合的幂集合p(m)之间是存在双射的,也许你会说,那样也可以同样运用康托尔的对角论证法来从中推导出来矛盾,但这是不可能的,原因是: 如果同样是按照康托尔的方法,设d是所有不配对上包含于它们所对应的象的自然数的集合,那么这个集合之中会包含有所有的奇数或一部分偶数,而这个集合不是p(m)中的元素(p(m)之中的元素全都是偶数集合的子集),所以康托尔无法用同样的反证法来从中推导矛盾. 接下来我们尝试一下做n到p(m)之间的一一对应: 设n= 设p(m)= 首先,我们将n中的所有偶数与p(m)之中的所有单元素子集做一一对应,p(m)之中的所有单元素子集是: 接下来的第二步,我们将全体奇数排成一个数列:1,3,5,7,9,11.......,运用zfc之中的选择公理,从这个数列中每相隔一个数取出来一个数重新排成为一个数列,它是:1,5,9,13,17,21.......,这个数列与奇数集合等势,也与n等势,我们将其中的一个数列定义为a1,另一个数列定义为a2,接着我们仍然运用选择公理从a2数列中每相隔一个数取出来一个数重新组成一个数列,将它定义为a3,这个a3同样与n等势,然后再从a3数列中每相隔一个数取出来一个数组成一个新的数列a4,接着从a4数列之中再取出来一个数列a5.......,根据zfc之中的无穷公理,我们可以从整个奇数集合之中取出来无穷个无穷数列:a1,a2,a3,a4.......an.......,这无穷个数列合并在一起就是整个的奇数集合.(而且每一个数列皆与n等势). 接下来的第三步,我们来分析p(m)之中的所有元素,我们可以将p(m)之中的所有元素分为单元素子集,双元素子集,三元素子集......n元素子集......,首先,我们运用先选择公理将p(m)之中所有包含有无穷个元素的子集全部找出来,定义为是b1,如:b1之中的所有元素为: b11: b12: b13: ........ 接下来,运用选择公理将所有p(m)之中的双元素找出来组成p(m)的一个子集,定义为b2,然后再运用选择公理将所有三元素全部找出来组成p(m)的子集定义为b3,再将所有四元素全部找出来组成p(m)的子集定义为b4......,这样,p(m)之中的所有元素就全部的化分成为无穷个子集:b1,b2,b3,b4,b5......bn...... 最后做n到p(m)之间的一一对应: 令a1对应b1,a2对应b2,a3对应b3,a4对应b4......an对应bn....... 因为a1与b1皆为无穷数列,再将两个数列之中的数做一一对应:a11对应b11,a12对应b12,a13对应b13,a14对应b14.......,其余的所有数列也是如此对应,则:最终的结果就是:n中的所有的元素在p(m)之中都有唯一的一个对应的象,所以它是一个双射,从而证明自然数集合与偶数集合的幂集合之间存在双射,两集合等势. 但是接下来出现了一个问题:既然康托尔证明了偶数集合与自然数集合等势,那么偶数集合的幂集合的基数必大于自然数集合的基数,两集合之间必不能存在双射,现在的的确确是证明了n到p(m)之间存在双射,究竟是哪里出错了? 唯一的可能就只能是:偶数集合与自然数集合不等势,即:自然数集合的基数不是最小的无穷基数,所以,连续统假设不成立.

6，康托尔定理

闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定在[a,b]上一致连续

康托尔定理指的是在集合论中，任何集合A的幂集P(A)的势严格大于A的势。康托尔定理对于有限集合成立，对于无限集合也同样成立。下面给出由集合论的创始人康托尔于1891年所做的康托尔定理的证明: 设 f 是从 A 到 A 的幂集P(A)的任何函数。必须证明这个f必定不是满射的。要如此，展示一个A的子集不在f的像中就足够了。这个子集是: B={x ∈A : x /∈ f(x)}(注:符号:/∈代表的是不属于) 要证明 B 不在 f 的像中，假设 B 在 f 的像中。那么对于某个 y ∈ A，我们有 f(y) = B。现在考虑 y ∈ B 还是 y /∈B?如果 y ∈ B，则 y ∈ f(y)，但是通过 B 的定义，这蕴涵了y /∈B。在另一方面，如果 y /∈B，则 y /∈f(y) 并因此 y∈B。任何方式下都是矛盾。因为 x 在表达式 "x /∈f(x)" 中重复出现，这是对角论证法。下面通过一个实例来详细的讲解一下康托尔定理的证明过程:设自然数集合N={0,1,2,3,4......n......},自然数集合的幂集合P(N)={ 什么是康托尔伯恩斯坦施罗德定理

,{1,2},{2,4,6},{1,3,5,8,9}.......},P(N)中包含所有的的 N 的子集，比如所有偶数的集合 {2,4, 6,...}，还有空集。假设N与P(N)之间是存在双射的,我们将尝试对N的每个元素都配对上P(N)的元素，使得这两个集合中没有元素是未配对的。配对元素的尝试将是如下样子的: 1------>{4,5,8} 2------>{1,2,6,8} 3------>{1,3,5} 4------>{2,3,7,9} 5-------> ............. 在上述对应中,某些自然数被配对上P(N)中不包含它们的子集。例如，数1被配对上 {4, 5,8},数4被配对上{2,3,7,9}。其他自然被配对上包含它们的子集。比如数2被配对上{1, 2, 6,8},数3被配对上{1,3,5},数5被配对上. 使用这个想法，让我们建造一个自然数的特殊集合:设D是被配对上不包含它们的子集的所有自然数的集合。通过定义，则幂集 P(N) 必定包含这个集合 D 作为元素。所以D必定被配对上某个自然数。但是这导致了一个问题 : 哪个自然数和D配对呢? 它不能是D的成员，因为D被特殊构造为只包含那些不配对上包含它们的子集的自然数。在另一方面如果配对于D的自然数不包含在D中，则再次通过D的定义，它必定包含在D中. 这个矛盾是因为这个自然数不能同时出现在D的内部和外部。所以，没有自然数可以配对于 D，而我们的最初假定在N 和P(N)之间存在双射是有矛盾的。所以N与P(N)之间不存在双射,而N的势不能大于P(N)的势,所以P(N)的势必大于N的势. 根据上述康托尔定理的证明思路,下面我们来考虑一下这个命题:康托尔运用一一对应的方法证明了全体偶数集合与全体自然数集合等势,则根据康托尔定理,偶数集合的幂集合P（M）与自然数集的幂集合P（N）也应该是等势的。既然N与P（N）之间不存在双射，则N与偶数集合的幂集合P（M）之间同样不能存在双射，否则就会有矛盾,但事实的确是这样的吗？首先我们来假设N到偶数集合的幂集合P(M)之间是存在双射的,也许你会说,那样也可以同样运用康托尔的对角论证法来从中推导出来矛盾,但这是不可能的,原因是: 如果同样是按照康托尔的方法,设D是所有不配对上包含于它们所对应的象的自然数的集合,那么这个集合之中会包含有所有的奇数或一部分偶数,而这个集合不是P(M)中的元素(P(M)之中的元素全都是偶数集合的子集),所以康托尔无法用同样的反证法来从中推导矛盾. 接下来我们尝试一下做N到P(M)之间的一一对应: 设N={1,2,3,4,5.......n......} 设P(M)={ 康托尔集是有什么性质

,{2,4,6},{4,8,18,28},{6,22}......},P(M)之中包含所有偶数集合的子集. 首先,我们将N中的所有偶数与P(M)之中的所有单元素子集做一一对应,P(M)之中的所有单元素子集是:{ 康托尔集是有什么性质

,,,......},这样,N中所有的偶数全部与P(M)之中的单元素子集一一对应,则N中余下来的是全体奇数. 接下来的第二步,我们将全体奇数排成一个数列:1,3,5,7,9,11.......,运用ZFC之中的选择公理,从这个数列中每相隔一个数取出来一个数重新排成为一个数列,它是:1,5,9,13,17,21.......,这个数列与奇数集合等势,也与N等势,我们将其中的一个数列定义为a1,另一个数列定义为a2,接着我们仍然运用选择公理从a2数列中每相隔一个数取出来一个数重新组成一个数列,将它定义为a3,这个a3同样与N等势,然后再从a3数列中每相隔一个数取出来一个数组成一个新的数列a4,接着从a4数列之中再取出来一个数列a5.......,根据ZFC之中的无穷公理,我们可以从整个奇数集合之中取出来无穷个无穷数列:a1,a2,a3,a4.......an.......,这无穷个数列合并在一起就是整个的奇数集合.(而且每一个数列皆与N等势). 接下来的第三步,我们来分析P(M)之中的所有元素,我们可以将P(M)之中的所有元素分为单元素子集,双元素子集,三元素子集......n元素子集......,首先,我们运用先选择公理将P(M)之中所有包含有无穷个元素的子集全部找出来,定义为是b1,如:b1之中的所有元素为: b11:{2,4,6,8,.......2n.......} b12:{4,6,12,18,24,.......} b13:{2,24,32,48,58.......} ........ 接下来,运用选择公理将所有P(M)之中的双元素找出来组成P(M)的一个子集,定义为b2,然后再运用选择公理将所有三元素全部找出来组成P(M)的子集定义为b3,再将所有四元素全部找出来组成P(M)的子集定义为b4......,这样,P(M)之中的所有元素就全部的化分成为无穷个子集:b1,b2,b3,b4,b5......bn...... 最后做N到P(M)之间的一一对应: 令a1对应b1,a2对应b2,a3对应b3,a4对应b4......an对应bn....... 因为a1与b1皆为无穷数列,再将两个数列之中的数做一一对应:a11对应b11,a12对应b12,a13对应b13,a14对应b14.......,其余的所有数列也是如此对应,则:最终的结果就是:N中的所有的元素在P(M)之中都有唯一的一个对应的象,所以它是一个双射,从而证明自然数集合与偶数集合的幂集合之间存在双射,两集合等势. 但是接下来出现了一个问题:既然康托尔证明了偶数集合与自然数集合等势,那么偶数集合的幂集合的基数必大于自然数集合的基数,两集合之间必不能存在双射,现在的的确确是证明了N到P(M)之间存在双射,究竟是哪里出错了? 唯一的可能就只能是:偶数集合与自然数集合不等势,即:自然数集合的基数不是最小的无穷基数,所以,连续统假设不成立.

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